Tag Archive for 'Mathematik'

Page 2 of 2

PIN-Nummern-Paradoxa

Veröffentlicht am 18. Juni 2008 in Angewandtes, Kombinatorik, Mathematik and Wahrscheinlichkeit. 11 Comments Tags: , , , , .

In diesem Eintrag möchte ich ein Beispiel für eine Anwendung eines mathematischen Beweises auf das “wirkliche Leben” zeigen.

Es geht um einige Überlegungen zu der Sicherheit von PIN-Nummern [Wikipedia]. Auf unserem Weg, diese Sicherheitsfragen zu klären werden wir auch noch zufällig eine interessante Beobachtung machen. Der Artikel ist vorerst nur auf die PIN-Nummern von EC-Karten bezogen, alle Gedanken und Berechnungen sollten jedoch genauso für andere Systeme gelten und/oder übertragbar sein.

Die erste Frage, die sich stellt, ist die nach der Wahrscheinlichkeit, eine vierstellige PIN-Nummer zu erraten. Dazu müssen wir zunächst die Anzahl der möglichen verschiedenen vierstelligen PIN-Nummern berechnen. Für die erste Ziffer steht eine Ziffer von 1 bis 9 zur Verfügung, den drei weiteren Ziffern außerdem eine 0. Es gibt also {9} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000 verschiedene vierstellige PIN-Nummern. Das scheint sehr wenig zu sein.

Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte PIN-Nummer richtig zu erraten beträgt aber demnach P = \frac{1}{9000} = 0{,}011\%, was ziemlich gering ist. Die richtige PIN-Nummer nach drei Versuchen zu raten, die in der Regel erlaubt sind, bis die Karte gesperrt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit mit \frac{1}{9000} + \frac{1}{8999} + \frac{1}{8998} \approx 0,033337 nur wenig mehr als 0,033%, ist also immer noch sehr gering. Unter 1000 EC-Karten, deren PIN-Nummern man durch Raten herauszufinden, sind im Durchschnitt also nur etwa 3 richtig. Sorge oder gar Angst um die Sicherheit ist also, trotz der “nur” 9000 verschiedenen Möglichkeiten, fehl am Platze.

Aber halt! Es gibt nur 9000 verschiedene PIN-Nummern? Wenn wir das Schubfachprinzip zu Rate ziehen, stellen wir fest, dass es mit Sicherheit zwei Menschen geben muss, deren PIN-Nummern identisch sind. Und das nicht nur in Deutschland oder einem bestimmten Bundesland; in nahezu jeder Stadt gibt es wohl mindestens ein Paar identischer PIN-Nummern. Doppelte PIN-Nummern kommen also häufiger vor, als man intuitiv vermuten würde. Und trotzdem kann man sich darauf verlassen, dass das PIN-Verfahren ein sicheres ist. Verblüffend!

Überrascht war ich auch, als ich feststellen musste, dass die PIN meiner EC-Karte und die vorgegebene PIN für meine neue Handy-SIM-Karte sich bloß an einer einzigen Stelle um eine einzige Ziffer unterschieden.

Wie groß war schon die Wahrscheinlichkeit dafür? Um den Blog-Eintrag nicht unnötig und abschreckend groß erscheinen zu lassen führe ich die Berechnungen hier nicht weiter aus. Das Endergebnis möchte ich jedoch nicht vorenthalten, die a-priori-Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis betrug etwa 0,003%, das entspricht einer Chance von etwa 1 zu 868. Hätten Sie unter Berücksichtigung der vorherigen Erkenntnis der Häufigkeit von doppelten PIN-Nummern ein solches Ergebnis erwartet?

Wir sehen, die Wahrscheinlichkeitsrechnung legt einige Dinge zu Tage, die unserer Intuition völlig zuwiderlaufen. Faszinierend, wie ich finde.

Wer noch weitere Beispiele für solche Täuschungen kennt ist herzlich dazu eingeladen, diese in einem Kommentar zu ergänzen.

Auflösung des Ziegenproblems

Veröffentlicht am 31. Mai 2008 in Mathematik, Probleme and Wahrscheinlichkeit. 0 Comments Tags: , , , , , , , .

Auflösung des ZiegenproblemsHier also die Auflösung des Ziegenproblems für diejenigen, die es nicht länger erwarten können oder möchten.

Wer den Artikel über das Ziegenproblem noch nicht gelesen hat, dem sei dazu geraten, es vor der Lektüre dieses Artikels zu tun (http://blog.florian-severin.de/2008/05/das-ziegenproblem).

Wie dort erwähnt sind die Wahrscheinlichkeiten, den Hauptpreis zu gewinnen, gefragt. Mit welcher Entscheidung hat man dann die besseren Chancen? Um das herauszufinden, beginnen wir mit der Ausgangssituation, es soll also eine von drei Türen gewählt werden. Nach dieser Auswahl können zwei verschiedene Fälle aufgetreten sein: Entweder, die ausgewählte Tür ist die, hinter der der Hauptgewinn wartet (Fall A). Im anderen Fall wurde eine der beiden Türen gewählt, hinter denen eine Ziege verborgen ist (Fall B).

Die Wahrscheinlichkeit für Fall A liegt offensichtlich bei \frac{1}{3}, die für Fall B bei \frac{2}{3}. Man schreibt dies als P(A) = \frac{1}{3} (sprich: “P von A ist gleich ein Drittel”) bzw. P(B) = \frac{2}{3} (sprich: “P von B ist gleich zwei Drittel”).

Im nächsten Schritt wählt der Moderator eine der beiden nicht vom Spieler gewählten Türen aus, hinter der sich eine Ziege verbarg. Nun steht der Spieler vor der Wahl, ob er wechseln möchte oder nicht.

Gehen wir zunächst davon aus, der Spieler verfolgt die Strategie, niemals zu wechseln. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen genau der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fall A eintritt also \frac{1}{3}. In Fall B, also mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{2}{3} verliert der Spieler.

Wenn der Spieler sich von vornherein darauf festlegt, immer zu wechseln, so beträgt die Wahrsceheinlichkeit für einen Gewinn genau der Wahrscheinlichkeit für Fall B, also \frac{2}{3}. In Fall A, also mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{3} verliert er.

Eine andere denkbare Strategie wäre z. B., eine Münze zu werfen und damit den Zufall entscheiden lassen, ob man wechselt oder nicht. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \ {(f\ddot ur\ Fall\ A)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\ {(f\ddot ur\ Fall\ B)} = \frac{3}{6}= \frac{1}{2}. Die Chance auf einen Gewinn ist also immernoch höher, wenn man immer wechselt.

Weitere Überlegungen und alternative Beweise (es gibt einige, der hier erläuterte ist einer der einfacheren) finden ihren Platz gerne in den Kommentaren.

Das Ziegenproblem

Veröffentlicht am 31. Mai 2008 in Mathematik, Probleme and Wahrscheinlichkeit. 0 Comments Tags: , , , .

ZiegenproblemDas Ziegenproblem [Wikipedia] ist ein bekanntes Problem der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Man stelle sich vor, man befindet sich in einer Quiz-Show, bei der es darum geht, aus drei Türen diejenige auszuwählen, hinter der der Hauptgewinn (z. B. ein Auto) wartet. Hinter den anderen beiden Türen befindet sich jeweils eine Ziege.

Der Spieler wählt nun zunächst eine der drei Türen aus. Darauf hin öffnet der Moderator eine der beiden anderen Türen, hinter der sich eine Ziege befindet. Übrig bleibt also die eine Tür die den Hauptgewinn verbirgt sowie die Tür, hinter der die andere Ziege wartet. Der Spieler wird nun vor die Wahl gestellt: Entweder er bleibt bei der zuvor ausgewählten Tür, oder er wechselt.

Welche Entscheidung verspricht nun die größere Chance, den Hauptpreis zu gewinnen? Intuitiv ist die mehrheitliche Meinung, beide Wahrscheinlichkeiten seien gleich groß. Das stimmt jedoch nicht! Da ich mit diesem Blog aber auch zum Nachdenken über die Mathematik und ihre Probleme anregen und aufrufen möchte, gibt es in diesem Beitrag keine Erklärung dafür. Der interessierte Leser möge sich also zunächst selbst Gedanken darüber machen, warum das so ist, und bei welcher Entscheidung man bessere Chancen hat.

Wer nicht darüber nachdenken möchte, oder zu keinem Ergebnis gekommen ist, dem sei auch die Möglichkeit gegeben, sich die Auflösung des Ziegenproblems anzuschauen.

Das Schubfachprinzip

Veröffentlicht am 27. Mai 2008 in Beweismethoden and Mathematik. 7 Comments Tags: , , , .

Das Schubfachprinzip ist eine recht einfache mathematische Beweismethode, die auch auf eine Vielzahl von nicht-mathematischen Aussagen angewendet werden kann. Die Vorgehensweise des Prinzips ist denkbar einfach:

Das Schubfachprinzip

Werden n Objekte auf m Mengen verteilt, so enthält mindestens eine der Mengen mehr als ein Objekt, falls n > m gilt.

Eine anschauliche Erklärung lässt sich mit Hilfe des Namens geben:

Wenn n Objekte (z. B. Kugeln) auf m Schubfächer verteilt werden sollen, so enthält mindestens eines der Schubfächer mehr als eine Kugel, falls es mehr Objekte als Schubfächer gibt (n > m).

Der Beweis ist recht einfach beispielsweise per Reductio ad absurdum (Beweis durch Widerspruch) [Wikipedia] zu führen:

Beweis

Angenommen, das Schubfachprinzip wäre falsch. Bei der Verteilung von n Objekten auf m Mengen würde also in jeder Menge nur höchstens ein Objekt enthalten sein. Darauf folgt, dass es nur höchstens n Schubfächer geben kann. Dies ist ein Widerspruch zu der Aussage n > m, also muss das Schubfachprinzip richtig sein.

Die Anwendung ist wie gesagt vielzählig. So kann mittels Schubfachprinzip beispielsweise bewiesen werden, dass es in einem Dorf mit 200 Einwohnern mindestens 2 Einwohner gibt, die gleich alt sind. Die Anzahl der Schubfächer (= die Anzahl der verschiedenen Altersjahre) kann höchstens so groß sein wie das Alter des ältestesten Einwohners. Da es keinen Menschen gibt, der über 200 Jahre alt ist, muss es mehr Einwohner als Schubfächer geben und somit müssen zwei Einwohner gleich alt sein.

Genauso kann man zeigen, dass es unter 400 Menschen immer mindestens 2 gibt, die am selben Tag Geburtstag feiern. (m = 365, n = 400)

Der Leser ist herzlich dazu eingeladen, weitere Tatsachen zu suchen und finden, die sich mit Hilfe des Schubfachprinzips beweisen lassen und in einem Kommentar zu ergänzen.

Auch jegliche andere Art von Kommentaren ist wie immer gern gesehen.