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(Quadrat-)Wurzeln aus ganzen Zahlen

Veröffentlicht am 20. Dezember 2011 in Allgemeines, Mathematik, Primzahlen and Zahlentheorie. 0 Comments Tags: , , , , , , , .

Den Standard-Beweis, dass \sqrt{2}, die Quadratwurzel aus 2, keine Bruchzahl ist, kennt vermutlich fast jeder noch aus der eigenen Schulzeit. In dem vor zwei Jahren veröffentlichten Artikel “Roots of integers” in John D. Cook’s Blog (“The Endeavour“) entdeckte ich heute einen viel schöneren, weil allgemeineren Beweis dieser Tatsache, den ich nicht vorenthalten möchte.

Betrachtet man eine beliebige ganze Zahl z und zieht deren n-te Wurzel (falls z \ge 0 oder n ungerade, ansonsten ist die n-te Wurzel von z nicht definiert), so gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder die Wurzel ist ganzzahlig, oder sie ist eine irrationale Zahl. Ein irgendwie verblüffendes und doch einleuchtendes Resultat. Denkt man eine Weile über diese Aussage nach, so wird schnell intuitiv klar, dass sie richtig ist. Auch der Beweis ist nicht schwierig:

Sei \frac{a}{b} eine vollständig gekürzte rationale Zahl. “Vollständig gekürzt” heißt, dass a und b keine gemeinsamen Teiler mehr haben. (Das ist keine echte Einschränkung, denn andernfalls lässt der Bruch sich um den größten gemeinsamen Teiler von a und b kürzen.) Weiter sei n eine beliebige natürliche Zahl (und insbesondere nicht gleich 0).

Ist nun \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} eine ganze Zahl, dann muss b^n ein Teiler von a^n sein. Aus dem Satz der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt, dass auch b ein Teiler von a sein muss. Da a und b als teilerfremd vorausgesetzt waren, gilt also b = 1 (ein negatives Vorzeichen können wir ggf. im Zähler a des Bruches unterbringen, denn \frac{a}{-b} = \frac{-a}{b}).

Also ist auch \frac{a}{b} eine ganze Zahl!

Wir können jetzt sofort per Widerspruchsbeweis die Behauptung folgern: Wäre die n-te Wurzel der ganzen Zahl z ein echter Bruch, das heißt \sqrt[n]{z} = \frac{a}{b} für geeignete teilerfremde Zahlen a \in \mathbb{Z} und b \in \mathbb{N} mit b > 1, dann wäre \left(\frac{a}{b}\right)^n = z keine ganze Zahl (denn das geht nur für b=1).

Es können als Wurzeln von ganzen Zahlen also nur ganze oder irrationale Zahlen auftreten. Da 2 offenbar keine Quadratzahl ist (denn zwischen 1^2 = 1 und 2^2 = 4 gibt es keine weiteren Quadratzahlen), muss $\sqrt{2}$ folglich irrational sein. Dasselbe gilt für alle n-ten Wurzeln (für n > 1) aus ganzen Zahlen, die nicht Quadratzahlen sind.

Insbesondere sind zum Beispiel die Wurzeln aus Primzahlen immer irrational!

Auflösung des Ziegenproblems

Veröffentlicht am 31. Mai 2008 in Mathematik, Probleme and Wahrscheinlichkeit. 0 Comments Tags: , , , , , , , .

Auflösung des ZiegenproblemsHier also die Auflösung des Ziegenproblems für diejenigen, die es nicht länger erwarten können oder möchten.

Wer den Artikel über das Ziegenproblem noch nicht gelesen hat, dem sei dazu geraten, es vor der Lektüre dieses Artikels zu tun (http://blog.florian-severin.de/2008/05/das-ziegenproblem).

Wie dort erwähnt sind die Wahrscheinlichkeiten, den Hauptpreis zu gewinnen, gefragt. Mit welcher Entscheidung hat man dann die besseren Chancen? Um das herauszufinden, beginnen wir mit der Ausgangssituation, es soll also eine von drei Türen gewählt werden. Nach dieser Auswahl können zwei verschiedene Fälle aufgetreten sein: Entweder, die ausgewählte Tür ist die, hinter der der Hauptgewinn wartet (Fall A). Im anderen Fall wurde eine der beiden Türen gewählt, hinter denen eine Ziege verborgen ist (Fall B).

Die Wahrscheinlichkeit für Fall A liegt offensichtlich bei \frac{1}{3}, die für Fall B bei \frac{2}{3}. Man schreibt dies als P(A) = \frac{1}{3} (sprich: “P von A ist gleich ein Drittel”) bzw. P(B) = \frac{2}{3} (sprich: “P von B ist gleich zwei Drittel”).

Im nächsten Schritt wählt der Moderator eine der beiden nicht vom Spieler gewählten Türen aus, hinter der sich eine Ziege verbarg. Nun steht der Spieler vor der Wahl, ob er wechseln möchte oder nicht.

Gehen wir zunächst davon aus, der Spieler verfolgt die Strategie, niemals zu wechseln. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen genau der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fall A eintritt also \frac{1}{3}. In Fall B, also mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{2}{3} verliert der Spieler.

Wenn der Spieler sich von vornherein darauf festlegt, immer zu wechseln, so beträgt die Wahrsceheinlichkeit für einen Gewinn genau der Wahrscheinlichkeit für Fall B, also \frac{2}{3}. In Fall A, also mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{3} verliert er.

Eine andere denkbare Strategie wäre z. B., eine Münze zu werfen und damit den Zufall entscheiden lassen, ob man wechselt oder nicht. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \ {(f\ddot ur\ Fall\ A)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\ {(f\ddot ur\ Fall\ B)} = \frac{3}{6}= \frac{1}{2}. Die Chance auf einen Gewinn ist also immernoch höher, wenn man immer wechselt.

Weitere Überlegungen und alternative Beweise (es gibt einige, der hier erläuterte ist einer der einfacheren) finden ihren Platz gerne in den Kommentaren.