Tag Archive for 'Anmerkung'

(Quadrat-)Wurzeln aus ganzen Zahlen

Veröffentlicht am 20. Dezember 2011 in Allgemeines, Mathematik, Primzahlen and Zahlentheorie. 0 Comments Tags: , , , , , , , .

Den Standard-Beweis, dass \sqrt{2}, die Quadratwurzel aus 2, keine Bruchzahl ist, kennt vermutlich fast jeder noch aus der eigenen Schulzeit. In dem vor zwei Jahren veröffentlichten Artikel “Roots of integers” in John D. Cook’s Blog (“The Endeavour“) entdeckte ich heute einen viel schöneren, weil allgemeineren Beweis dieser Tatsache, den ich nicht vorenthalten möchte.

Betrachtet man eine beliebige ganze Zahl z und zieht deren n-te Wurzel (falls z \ge 0 oder n ungerade, ansonsten ist die n-te Wurzel von z nicht definiert), so gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder die Wurzel ist ganzzahlig, oder sie ist eine irrationale Zahl. Ein irgendwie verblüffendes und doch einleuchtendes Resultat. Denkt man eine Weile über diese Aussage nach, so wird schnell intuitiv klar, dass sie richtig ist. Auch der Beweis ist nicht schwierig:

Sei \frac{a}{b} eine vollständig gekürzte rationale Zahl. “Vollständig gekürzt” heißt, dass a und b keine gemeinsamen Teiler mehr haben. (Das ist keine echte Einschränkung, denn andernfalls lässt der Bruch sich um den größten gemeinsamen Teiler von a und b kürzen.) Weiter sei n eine beliebige natürliche Zahl (und insbesondere nicht gleich 0).

Ist nun \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} eine ganze Zahl, dann muss b^n ein Teiler von a^n sein. Aus dem Satz der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt, dass auch b ein Teiler von a sein muss. Da a und b als teilerfremd vorausgesetzt waren, gilt also b = 1 (ein negatives Vorzeichen können wir ggf. im Zähler a des Bruches unterbringen, denn \frac{a}{-b} = \frac{-a}{b}).

Also ist auch \frac{a}{b} eine ganze Zahl!

Wir können jetzt sofort per Widerspruchsbeweis die Behauptung folgern: Wäre die n-te Wurzel der ganzen Zahl z ein echter Bruch, das heißt \sqrt[n]{z} = \frac{a}{b} für geeignete teilerfremde Zahlen a \in \mathbb{Z} und b \in \mathbb{N} mit b > 1, dann wäre \left(\frac{a}{b}\right)^n = z keine ganze Zahl (denn das geht nur für b=1).

Es können als Wurzeln von ganzen Zahlen also nur ganze oder irrationale Zahlen auftreten. Da 2 offenbar keine Quadratzahl ist (denn zwischen 1^2 = 1 und 2^2 = 4 gibt es keine weiteren Quadratzahlen), muss $\sqrt{2}$ folglich irrational sein. Dasselbe gilt für alle n-ten Wurzeln (für n > 1) aus ganzen Zahlen, die nicht Quadratzahlen sind.

Insbesondere sind zum Beispiel die Wurzeln aus Primzahlen immer irrational!

Die Quadratur des Kreises

Veröffentlicht am 3. Juni 2008 in Anekdoten and Mathematik. 1 Comment Tags: , , .

Heute habe ich mir bei einem Vortrag Albrecht Beutelspachers [Wikipedia] etwas zuerst interessantes, dann amüsantes über die Quadratur des Kreises sagen lassen. Zwar nicht von dem Referenten selbst, sondern von einem älteren Mann im Publikum. Als der eigentliche Vortrag zu Ende ging und die Zuhörer aufgefordert wurden, Fragen zu stellen und Kommentare abzugeben, erzählte er Prof. Beutelspacher und der restlichen Zuhörerschaft davon.

Er habe vor einiger Zeit etwas über die Quadratur des Kreises gelesen und sich sehr dafür interessiert. Er berichtete von einem Archäologen, von Ägypten, vom Pharao Ramses und behauptete, einen antiken Beweis gefunden und überprüft zu haben, um zu dem Schluß zu kommen: “Es ist wirklich möglich! Es funktioniert!”.

Die Hinweise Beutelspachers, dass nur Zirkel und Lineal benutzt werden dürfen und dass eine exakte Flächengleichheit gefragt ist – keine annähernde – störten ihn nicht. All das erfülle der Beweis.

Beutelspacher lehnte den Vorschlag des Mannes ab, ihn ein Beispiel dazu an die Tafel zeichnen zu lassen. Schade eigentlich, dann wäre es sicher noch interessanter und auch amüsanter geworden..

Zusatz: Achja, ich habe noch vergessen die dreiste (rhetorische?) Frage “Meinen Sie etwa ich kann nicht rechnen?” zu erwähnen. Gestellt wurde sie als Reaktion auf den Einwand, die Transzendenz von Pi mache die Konstruktion eines flächeninhaltsgleichen Quadrates zu einem Kreis unmöglich.