Den Standard-Beweis, dass 
, die Quadratwurzel aus 2, keine Bruchzahl ist, kennt vermutlich fast jeder noch aus der eigenen Schulzeit. In dem vor zwei Jahren veröffentlichten Artikel “Roots of integers” in John D. Cook’s Blog (“The Endeavour“) entdeckte ich heute einen viel schöneren, weil allgemeineren Beweis dieser Tatsache, den ich nicht vorenthalten möchte.
Betrachtet man eine beliebige ganze Zahl 
und zieht deren 
-te Wurzel (falls 
oder ungerade, ansonsten ist die -te Wurzel von nicht definiert), so gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder die Wurzel ist ganzzahlig, oder sie ist eine irrationale Zahl. Ein irgendwie verblüffendes und doch einleuchtendes Resultat. Denkt man eine Weile über diese Aussage nach, so wird schnell intuitiv klar, dass sie richtig ist. Auch der Beweis ist nicht schwierig:
Sei 
eine vollständig gekürzte rationale Zahl. “Vollständig gekürzt” heißt, dass 
und 
keine gemeinsamen Teiler mehr haben. (Das ist keine echte Einschränkung, denn andernfalls lässt der Bruch sich um den größten gemeinsamen Teiler von und kürzen.) Weiter sei eine beliebige natürliche Zahl (und insbesondere nicht gleich 0).
Ist nun 
eine ganze Zahl, dann muss 
ein Teiler von 
sein. Aus dem Satz der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt, dass auch ein Teiler von sein muss. Da und als teilerfremd vorausgesetzt waren, gilt also 
(ein negatives Vorzeichen können wir ggf. im Zähler des Bruches unterbringen, denn 
).
Also ist auch eine ganze Zahl!
Wir können jetzt sofort per Widerspruchsbeweis die Behauptung folgern: Wäre die -te Wurzel der ganzen Zahl ein echter Bruch, das heißt ![\sqrt[n]{z} = \frac{a}{b}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Csqrt%5Bn%5D%7Bz%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\sqrt[n]{z} = \frac{a}{b}")
für geeignete teilerfremde Zahlen 
und 
mit 
, dann wäre 
keine ganze Zahl (denn das geht nur für 
).
Es können als Wurzeln von ganzen Zahlen also nur ganze oder irrationale Zahlen auftreten. Da 
offenbar keine Quadratzahl ist (denn zwischen 
und 
gibt es keine weiteren Quadratzahlen), muss $\sqrt{2}$ folglich irrational sein. Dasselbe gilt für alle -ten Wurzeln (für 
) aus ganzen Zahlen, die nicht Quadratzahlen sind.
Insbesondere sind zum Beispiel die Wurzeln aus Primzahlen immer irrational!
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