Monthly Archive for Oktober, 2008

Primzahlen mit über 10 Millionen Dezimalstellen

Veröffentlicht am 3. Oktober 2008 in Mathematik, Primzahlen, Probleme and Rätsel. 2 Comments Tags: , , , , .

Soeben las ich in Günter Zieglers Blog, dass vor kurzem vom GIMPS-Projekt zwei Primzahlen mit jeweils weit über 10 Millionen Dezimalstellen gefunden worden sind.

Der technische Fortschritt macht selbst bei solchen Riesen nicht halt, und trotzdem gibt es noch immer keine Möglichkeit, Primzahlen in irgendeiner Weise exakt berechnen zu können. Durch (kluges) Ausprobieren finden wir neue, immer größere Primzahlen, doch irgendeine Regel oder Ordnung lässt sich nicht erkennen.

Scheinbar zufällig liegen diese Grundbausteine der Arithmetik chaotisch verteilt in der unendlichen Menge der  Zahlen. Seit über 2000 Jahren kennen wir sie, seit über 2000 Jahren sind sie eines der größten Rätsel, seit über 2000 Jahren sträuben sie sich gegen jeden Versuch einer exakten Darstellung.

Faszinierend!

(Inspiriert auch von “Die Musik der Primzahlen” (oder als Taschenbuch) von Marcus du Sautoy)

Paradoxes Fahrrad-Rätsel

Veröffentlicht am 3. Oktober 2008 in Angewandtes, Mathematik, Probleme and Rätsel. 0 Comments Tags: , , , .

Fahrrad

Stellen Sie sich vor, Sie nehmen an einem Fahrrad-Rennen teil. Die Strecke besteht aus zwei Runden irrelevanter Länge, eine davon haben Sie bereits absolviert. Bisher beträgt Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit 20 km/h, Sie hatten sich aber vorgenommen, nach dem gesamten Rennen mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 40km/h ins Ziel zu gelangen.

Wie schnell müssen Sie also nun in der zweiten Runde fahren, um diese Wunsch-Gesamtgeschwindigkeit zu erreichen?

Plausibel erscheinen zunächst 60km/h.

Doch ganz so einfach ist es natürlich nicht. In Wahrheit können Sie das Rennen gar nicht mehr mit der gewünschten Durchschnittsgeschwindigkeit von 40km/h beenden! Egal, wie kräftig Sie in die Pedale treten, eine Gesamt-Durchschnittsgeschwindigkeit von 40km/h zu erreichen ist unmöglich!

Warum? Nunja, für die erste Hälfte der Strecke benötigten Sie 20km/h. Wenn wir die Streckenlänge mit s bezeichnen gilt also für die benötigte Zeit t = \frac{1}{2}s : 20 \text{km/h} = \frac{1}{40}\text{km/h} \cdot s. Um das Ziel mit einer Geschwindigkeit von 40km/h zu erreichen, müssten Sie für die beiden Runden zusammen jedoch ebenfalls t = s : 40\text{km/h} = \frac{1}{40}\text{km/h} \cdot s benötigen; die zweite Runde müssten Sie also in 0 Sekunden absolvieren, was nicht nur praktisch unmöglich ist!

Genau so verhält es sich natürlich, wenn Sie bereits 99 von 100 Runden mit einer Geschwindigkeit von 99km/h gefahren sind und 100km/h erreichen möchten.