Warum gewinne ich nicht im Lotto?

Veröffentlicht am 21. August 2008 in Angewandtes, Kombinatorik and Mathematik. 13 Comments Tags: , , .

In diesem Artikel werden wir der Frage auf den Grund gehen. Dazu lernen wir zunächst die Begriffe der Fakultät und des Binomialkoeffizienten kennen, die beide aus der Kombinatorik stammen. Grob gesagt beschäftigt sich die Kombinatorik damit, Dinge abzuzählen. Oft geht es um Anordnungen von Dingen (populäres Beispiel: die möglichen Ziehungen der Lottozahlen bzw. -kugeln). Damit hängt die Kombinatorik teilweise eng mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammen, wie es z.B. in dem Artikel über PIN-Nummern zu erkennen ist.

Fakultät

Mithilfe der Fakultät kann man z.B. die Permutationen abzählen, die Anzahl der Vertauschungen einer bestimmen Anzahl von Objekten. Dazu zunächst ein Beispiel: Wir wollen die Anzahl aller Anordnungen berechnen, die es bei 5 Personen gibt, die auf 5 Stühle “verteilt” werden sollen. Gehen wir das Ganze einmal durch: Für die erste Person stehen uns alle 5 Stühle zur Verfügung. Die zweite Person müssen wir auf einen der verbleibenden 4 Stühle setzen. Es ergeben sich also {5} \cdot 4 = {20} Möglichkeiten für zwei Personen. Für jede weitere Person gibt es immer genau einen Stuhl weniger, auf dem die Person Platz nehmen kann, als die Person zuvor zur Auswahl hatte. Man erhält also {5} \cdot (5-1) \cdot (5-2) \cdot (5-3) \cdot (5-4) = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = {120} Möglichkeiten. Genau dieses Produkt nennt man “Fakultät von 5″ und schreibt 5{!}$. Allgemein definieren wir die Fakultät von n, geschrieben als n! als n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 . Die Größe der Fakultät einer Zahl steigt sehr rasant an und schon bei 3-stelligen Zahlen benötigt ein (durchschnittlicher) Computer längere Zeit zur Berechnung. Dem erwähnten Problem der Anordnungen von Lottozahlen lässt sich so allerdings nicht auf die Schliche kommen, da nur 6 aus 49 Kugeln insgesamt ausgewählt werden und die Reihenfolge außerdem irrelevant ist.

Der Binomialkoeffizient

Der mitdenkende Leser erkennt vielleicht schon, wie dieses Problem zu umgehen ist. Zunächst überlegen wir uns, wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 aus 49 Kugeln auszuwählen. Wir gehen so vor, wie oben bei Berechnung der Fakultät: Für die erste Kugel, die gezogen wird, gibt es 49 Möglichkeiten, für die zweite noch 48, für die dritte 47 und so weiter… Insgesamt ergibt sich {49} \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = \frac{49!}{43!} = \frac {49!}{(49-6)!} Allerdings haben wir die Reihenfolge der Ziehungen der Kugeln noch nicht berücksichtigt, dass heißt jede mögliche Kombination kommt mehrmals vor. Genauer gesagt: In jeder möglichen Anordnung. Um die richtige Zahl der möglichen Ziehungen (ohne Relevanz der Reihenfolge) zu erhalten, müssen wir den Wert also noch durch die Anzahl der Anordnungen teilen. Das ist genau 6!, wie oben erläutert. Also ist die Zahl der möglichen Ziehungen beim Lotto genau \frac {49!}{(49-6)!6!} = \frac {49!}{(6!(49-6)!} Wie bereits oben angedeutet genau das der Binomialkoeffizient , sprich “49 über 6″. Allgemein ist \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} (gilt nur für natürliche Zahlen n, k was bei “alltäglichen” Abzählaufgaben jedoch meist erfüllt ist) Um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, mit der man ein Lottospiel gewinnt muss man nun noch den Kehrwert dieser Gesamtzahl der möglichen Ziehungen bilden, also den Anteil der eigenen ausgewählten Kombination an der Gesamtzahl berechnen: \frac {1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{\frac{49!}{43!\cdot6!}} = \frac{43!\cdot6!}{49!} = \frac{1}{13983816} \approx 0{,}00000715 \% , was sehr sehr gering ist.

Selbst wenn man 14 Millionen verschiedenene Lottoscheine abgeben würde befände sich darunter im Durchschnitt nur ein einziger mit “6 Richtigen”. Und darum gewinnen Sie nicht im Lotto. (Wer schon einmal im Lotto gewonnen hat und diese Aussage somit aus persönlicher Erfahrung widerlegen kann ist natürlich herzlich eingeladen, dies in einem Kommentar zu tun.)

13 Responses to “Warum gewinne ich nicht im Lotto?”

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  • Hannes Christiansen
    1. November 2008 at 21:33

    Wäre es eigentlich rein theoretisch zulässig, 14 Millionen Lottoscheine abzugeben? :D

  • Florian
    2. November 2008 at 16:32

    Hallo Hannes,

    Erstmal sehe ich nichts, was dagegen spricht..
    Außer natürlich der Aufwand, 14 Millionen Scheine auszufüllen,
    und die enormen Kosten.

    Eine interessante Frage jedenfalls, die ich nun einmal dem Kundenservice gestellt habe.

    Mal sehen, ob, was und wann ich eine Antwort erhalte.
    Ich werde euch auf jeden Fall auf dem Laufenden halten!

    Grüße,
    Florian

  • Florian
    3. November 2008 at 15:29

    Hallo zusammen,

    habe heute eine Antwort erhalten:

    [...]
    Eine Abgabebegrenzung gibt es nicht. Der Einsatz für eine Lottoreihe
    beträgt € 0,75.
    [...]

    Ab einem Jackpot von mehr als 0,75 Euro * 13.983.816 = 10.487.862 Euro würde sich das Ganze also lohnen.
    Dann sollte bloß niemand anders die Gewinnkombination getippt haben.. ;)

    Grüße,
    Flo

  • Peter
    24. Januar 2009 at 00:08

    Hi zusammen,

    euer Gedankenansatz ist prinzipiell nicht ganz schlecht, aber das haut noch nicht ganz hin. Wenn ich den Jackpot nämlich gewinnen möchte, muss ja auch noch die Superzahl stimmen, was die Chancen nochmal (auf ein Zehntel?) verringert…

    Trotzdem könnte es sich meiner Meinung nach aber evtl. schon lohnen, “nur” 11.070.521 € zu investieren (1.165.318 komplett ausgefüllte Scheine), da ich ja neben einem normalen 6er auch noch unzählige (kann mir jemand ausrechnen, wie viele) andere Gewinne (5er+ZZ, 5er, 4er+ZZ, 4er, 3er+ZZ, 3er) erziele…

    DANN muss natürlich nur noch die Gewinnquote dementsprechend hoch sein. ;-)

    Liebe Grüße
    Peter

  • Florian
    21. März 2009 at 10:32

    Hallo Peter,

    ja, stimmt. Diese Sonderregelungen wie Super- und Zusatzzahlen werden hier nicht berücksichtigt. Der Einfachheit halber ging es erstmal nur um das gewöhnliche “6 aus 49″.
    Danke für deine Anregungen, werde mir demnächst mal ein paar Informationen besorgen und dann weiter Überlegungen anstellen.

    Ich hoffe, dass ich bald einen Artikel schreiben kann, der deine Fragen beantwortet.

    liebe Grüße,
    Flo

    [edit]: Vermutlich wird es sich am Ende nicht lohnen, irgendwie müssen die Spielbetreiber ja Gewinne machen.
    Deshalb sollte man auch Casinos lieber meiden – die Chancen stehen immer leicht günstiger gegen den Spieler. Sonst wäre das Casino schließlich schnell pleite.

  • dino
    4. Juli 2009 at 14:05

    hallo,

    leute das würde niemals funktionieren!aus ganz einfachem grund, den man muss die übersicht behalten,das keine zahlen sie wiederholen,und man muss sie trotzem alle 6 zahlen jeweils einmal wiederholen um die superzahl zu bekommen!!!

    • Florian
      4. Juli 2009 at 17:53

      Hallo dino,

      dass es praktisch nicht ganz einfach umsetzbar ist, ist klar.
      Allerdings kann man sich ohne viel Aufwand vom Computer eine (geordnete) Liste ausgeben lassen.
      Die müsste man dann “nur noch” abschreiben und abgeben.

    • Robert
      5. November 2009 at 00:04

      Naja, bei den Kosten wäre auch sicherlich auch noch ein Formular-Drucker drin (die günstigen gibts ab ca. 250 Euro) ;-)
      Mit einem Programm könnte man dann auch noch die statistischen Lottozahlen-Datenbanken heranziehen (es gibt ja die Zahlen wie 36 usw, die sehr häufig vorgekommen sind) und diese beim generieren seiner Tips mitrechnen lassen. Das dürfte die Wahrscheinlichkeit nochmal um einiges steigern, wobei ich allerdings nicht weiß, wie man das hier berechnen könnte. Das wäre ja eine große Menge Wahrscheinlichkeits-Vorwissen, welches in die normale o.g. Lottowahrscheinlichkeit mit einfließen müsste.

    • Florian
      5. November 2009 at 02:14

      Hallo Robert,

      klar, solche Fixkosten muss man eigentlich auch noch miteinrechnen..
      Inwieweit das ganze praktisch umsetzbar ist, ist ja sowieso fraglich. ;)

      Allerdings nützen die Statistiken kein bisschen.
      Ein häufiger menschlicher Irrtum in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (oder allgemeiner: bei der Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereginisse)
      ist es, von zwei Ereignissen (mit gleicher Wahrscheinlichkeit), das Ergebnis zu vermuten, dass es in der Vergangenheit bereits öfter gab (oder eben nicht).
      Eine (Pseudo-)”Strategie” beim Roulette ist es zum Beispiel, nach einer langen “schwarzen Phase” auf rot zu setzen und umgekehrt.
      Die Wahrscheinlichkeit für “rot” ist aber bei jedem Wurf gleich der Wahrscheinlichkeit für “schwarz” (mit knapp 50%, denn es gibt die farblose Null).

  • armin
    11. Dezember 2009 at 11:26

    hej,

    gibt es eigentlich ab einem gewissen jackpot ein sicheres nullsummenspiel bzw. ein sicheres gewinnen?

    klar, wenn ich nicht spiele, verliere ich nichts…

    aber:
    (obacht, bin völliger statistik-laie, hab mich im grundstudium mehr schlecht als recht durchgekämpft)

    der erwartungswert wird errechnet aus dem produkt aus eintrittswahrscheinlichkeit und dem “gewinn”. wenn nun im lotto die eintrittswahrscheinlichkeit super-klein ist, erhöht sich der erwartungswert, wenn der gewinn oder der jackpot recht hoch ist. wenn ich lotto spiele, habe ich meinen einsatz immer dann wieder drin, wenn ich mehr als zwei richtige habe, so dass nicht nur der erwartungswert bei 6 richtigen plus superzahl, sondern auch alle andere erwartungswerte relevant sind…

    betrachte ich also alle gewinnträchtigen erfahrungswerte (summe), gibt es dann ein sicheres lottospielen, bei dem ich nichts verlieren kann?

    tschö,
    armin

    • Florian
      4. Januar 2010 at 01:24

      Hallo Armin,

      entschuldige erstmal, dass ich erst jetzt antworte.
      Mit Deinen Überlegungen hast Du erst einmal Recht, ab einem
      gewissen Jackpot scheint der Erwartungswert zunächst größer als der Preis des Lottoscheins.

      Doch was auch noch zu bedenken ist: Je größer der Jackpot, desto mehr Leute spielen – in der Regel – auch mit.
      Die Wahrscheinlichkeit, dass nicht nur Du, sondern auch (viele) andere richtig tippen steigt damit.
      In den erwarteten Gewinn fließt dann also auch noch die Wahrscheinlichkeit ein, zu der du das Geld teilen musst.

      Trotzdem gibt es natürlich einen gewissen Punkt (Höhe des Jackpots), ab dem der Erwartungswert sicher höher ist, als der Preis des Lottoscheins – zumindest wenn man annimmt, dass jeder Mensch nur höchstens x Lottoscheine ausfüllt.

      Was bisher noch unbetrachtet blieb: Es handelt sich nur um *Erwartungswerte*. Das heißt, man gewinnt nicht sicher, sondern es gibt immernoch das Risiko, zu verlieren. Auch wenn es kleiner als 50% ist, bedeutet das ja nicht, das man gar nicht verliert.
      Beispiel dazu: Beim Roulette-Spiel stehen die Chancen immer leicht gegen den Spieler (klar, das Casino muss ja irgendwie Geld verdienen). Dennoch kommt es durchaus vor, dass einige Spieler zum Teil riesige Gewinne erzielen. Das Gesetz der großen Zahlen.

      Ähnlich wie beim Roulette verhält es sich auch beim Lottospiel, einen sicheren Gewinn kann es nie geben und die Chancen stehen *insgesamt* (d.h. im Mittel) immer für die Lottogesellschaft und gegen den Spieler.

      Sonst ginge der Lottoanbieter ja irgendwann pleite…

      liebe Grüße,
      Flo

  • TimTim
    1. April 2011 at 12:30

    “Warum gewinne ich nicht im Lotto?” – Epic Fail

    Schon lustig, was hier so geschrieben wird ^^

    Nur mal ein ganz kleiner zusätzlicher Aspekt, es wird nicht nur bei 6 richtigen ausgzahlt, sondern schon ab 3 richtigen.

    Die Wahrscheinlichkeite für einen Gewinn beim Lottospielen liegt also schon bei 1:61.

    Wer einmal beim Lotto gewinnen möchte, fülle einfach mal 62 Reihen aus. Jackpot knacken ist aber schwerer.

    • Ben
      2. Februar 2012 at 08:41

      Quatsch^^, nur weil ich 62 Tipps abgebe muss ich nicht zwangsläufig gewinnen ;-). Beispiel? Wenn die Zahlen 1-2-3-4-5-6 gezogen werden und ich meine 62 Tipps in die Zahlen von 7 bis 49 verlege (was sicherlich nicht schwer zu glauben ist) habe ich keinen 3er^^

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