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Warum gewinne ich nicht im Lotto?

Veröffentlicht am 21. August 2008 in Angewandtes, Kombinatorik and Mathematik. 13 Comments Tags: , , .

In diesem Artikel werden wir der Frage auf den Grund gehen. Dazu lernen wir zunächst die Begriffe der Fakultät und des Binomialkoeffizienten kennen, die beide aus der Kombinatorik stammen. Grob gesagt beschäftigt sich die Kombinatorik damit, Dinge abzuzählen. Oft geht es um Anordnungen von Dingen (populäres Beispiel: die möglichen Ziehungen der Lottozahlen bzw. -kugeln). Damit hängt die Kombinatorik teilweise eng mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammen, wie es z.B. in dem Artikel über PIN-Nummern zu erkennen ist.

Fakultät

Mithilfe der Fakultät kann man z.B. die Permutationen abzählen, die Anzahl der Vertauschungen einer bestimmen Anzahl von Objekten. Dazu zunächst ein Beispiel: Wir wollen die Anzahl aller Anordnungen berechnen, die es bei 5 Personen gibt, die auf 5 Stühle “verteilt” werden sollen. Gehen wir das Ganze einmal durch: Für die erste Person stehen uns alle 5 Stühle zur Verfügung. Die zweite Person müssen wir auf einen der verbleibenden 4 Stühle setzen. Es ergeben sich also {5} \cdot 4 = {20} Möglichkeiten für zwei Personen. Für jede weitere Person gibt es immer genau einen Stuhl weniger, auf dem die Person Platz nehmen kann, als die Person zuvor zur Auswahl hatte. Man erhält also {5} \cdot (5-1) \cdot (5-2) \cdot (5-3) \cdot (5-4) = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = {120} Möglichkeiten. Genau dieses Produkt nennt man “Fakultät von 5″ und schreibt 5{!}$. Allgemein definieren wir die Fakultät von n, geschrieben als n! als n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 . Die Größe der Fakultät einer Zahl steigt sehr rasant an und schon bei 3-stelligen Zahlen benötigt ein (durchschnittlicher) Computer längere Zeit zur Berechnung. Dem erwähnten Problem der Anordnungen von Lottozahlen lässt sich so allerdings nicht auf die Schliche kommen, da nur 6 aus 49 Kugeln insgesamt ausgewählt werden und die Reihenfolge außerdem irrelevant ist.

Der Binomialkoeffizient

Der mitdenkende Leser erkennt vielleicht schon, wie dieses Problem zu umgehen ist. Zunächst überlegen wir uns, wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 aus 49 Kugeln auszuwählen. Wir gehen so vor, wie oben bei Berechnung der Fakultät: Für die erste Kugel, die gezogen wird, gibt es 49 Möglichkeiten, für die zweite noch 48, für die dritte 47 und so weiter… Insgesamt ergibt sich {49} \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = \frac{49!}{43!} = \frac {49!}{(49-6)!} Allerdings haben wir die Reihenfolge der Ziehungen der Kugeln noch nicht berücksichtigt, dass heißt jede mögliche Kombination kommt mehrmals vor. Genauer gesagt: In jeder möglichen Anordnung. Um die richtige Zahl der möglichen Ziehungen (ohne Relevanz der Reihenfolge) zu erhalten, müssen wir den Wert also noch durch die Anzahl der Anordnungen teilen. Das ist genau 6!, wie oben erläutert. Also ist die Zahl der möglichen Ziehungen beim Lotto genau \frac {49!}{(49-6)!6!} = \frac {49!}{(6!(49-6)!} Wie bereits oben angedeutet genau das der Binomialkoeffizient , sprich “49 über 6″. Allgemein ist \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} (gilt nur für natürliche Zahlen n, k was bei “alltäglichen” Abzählaufgaben jedoch meist erfüllt ist) Um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, mit der man ein Lottospiel gewinnt muss man nun noch den Kehrwert dieser Gesamtzahl der möglichen Ziehungen bilden, also den Anteil der eigenen ausgewählten Kombination an der Gesamtzahl berechnen: \frac {1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{\frac{49!}{43!\cdot6!}} = \frac{43!\cdot6!}{49!} = \frac{1}{13983816} \approx 0{,}00000715 \% , was sehr sehr gering ist.

Selbst wenn man 14 Millionen verschiedenene Lottoscheine abgeben würde befände sich darunter im Durchschnitt nur ein einziger mit “6 Richtigen”. Und darum gewinnen Sie nicht im Lotto. (Wer schon einmal im Lotto gewonnen hat und diese Aussage somit aus persönlicher Erfahrung widerlegen kann ist natürlich herzlich eingeladen, dies in einem Kommentar zu tun.)