Monthly Archive for Mai, 2008

Auflösung des Ziegenproblems

Veröffentlicht am 31. Mai 2008 in Mathematik, Probleme and Wahrscheinlichkeit. 0 Comments Tags: , , , , , , , .

Auflösung des ZiegenproblemsHier also die Auflösung des Ziegenproblems für diejenigen, die es nicht länger erwarten können oder möchten.

Wer den Artikel über das Ziegenproblem noch nicht gelesen hat, dem sei dazu geraten, es vor der Lektüre dieses Artikels zu tun (http://blog.florian-severin.de/2008/05/das-ziegenproblem).

Wie dort erwähnt sind die Wahrscheinlichkeiten, den Hauptpreis zu gewinnen, gefragt. Mit welcher Entscheidung hat man dann die besseren Chancen? Um das herauszufinden, beginnen wir mit der Ausgangssituation, es soll also eine von drei Türen gewählt werden. Nach dieser Auswahl können zwei verschiedene Fälle aufgetreten sein: Entweder, die ausgewählte Tür ist die, hinter der der Hauptgewinn wartet (Fall A). Im anderen Fall wurde eine der beiden Türen gewählt, hinter denen eine Ziege verborgen ist (Fall B).

Die Wahrscheinlichkeit für Fall A liegt offensichtlich bei \frac{1}{3}, die für Fall B bei \frac{2}{3}. Man schreibt dies als P(A) = \frac{1}{3} (sprich: “P von A ist gleich ein Drittel”) bzw. P(B) = \frac{2}{3} (sprich: “P von B ist gleich zwei Drittel”).

Im nächsten Schritt wählt der Moderator eine der beiden nicht vom Spieler gewählten Türen aus, hinter der sich eine Ziege verbarg. Nun steht der Spieler vor der Wahl, ob er wechseln möchte oder nicht.

Gehen wir zunächst davon aus, der Spieler verfolgt die Strategie, niemals zu wechseln. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen genau der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fall A eintritt also \frac{1}{3}. In Fall B, also mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{2}{3} verliert der Spieler.

Wenn der Spieler sich von vornherein darauf festlegt, immer zu wechseln, so beträgt die Wahrsceheinlichkeit für einen Gewinn genau der Wahrscheinlichkeit für Fall B, also \frac{2}{3}. In Fall A, also mit einer Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{3} verliert er.

Eine andere denkbare Strategie wäre z. B., eine Münze zu werfen und damit den Zufall entscheiden lassen, ob man wechselt oder nicht. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \ {(f\ddot ur\ Fall\ A)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\ {(f\ddot ur\ Fall\ B)} = \frac{3}{6}= \frac{1}{2}. Die Chance auf einen Gewinn ist also immernoch höher, wenn man immer wechselt.

Weitere Überlegungen und alternative Beweise (es gibt einige, der hier erläuterte ist einer der einfacheren) finden ihren Platz gerne in den Kommentaren.

Das Ziegenproblem

Veröffentlicht am 31. Mai 2008 in Mathematik, Probleme and Wahrscheinlichkeit. 0 Comments Tags: , , , .

ZiegenproblemDas Ziegenproblem [Wikipedia] ist ein bekanntes Problem der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Man stelle sich vor, man befindet sich in einer Quiz-Show, bei der es darum geht, aus drei Türen diejenige auszuwählen, hinter der der Hauptgewinn (z. B. ein Auto) wartet. Hinter den anderen beiden Türen befindet sich jeweils eine Ziege.

Der Spieler wählt nun zunächst eine der drei Türen aus. Darauf hin öffnet der Moderator eine der beiden anderen Türen, hinter der sich eine Ziege befindet. Übrig bleibt also die eine Tür die den Hauptgewinn verbirgt sowie die Tür, hinter der die andere Ziege wartet. Der Spieler wird nun vor die Wahl gestellt: Entweder er bleibt bei der zuvor ausgewählten Tür, oder er wechselt.

Welche Entscheidung verspricht nun die größere Chance, den Hauptpreis zu gewinnen? Intuitiv ist die mehrheitliche Meinung, beide Wahrscheinlichkeiten seien gleich groß. Das stimmt jedoch nicht! Da ich mit diesem Blog aber auch zum Nachdenken über die Mathematik und ihre Probleme anregen und aufrufen möchte, gibt es in diesem Beitrag keine Erklärung dafür. Der interessierte Leser möge sich also zunächst selbst Gedanken darüber machen, warum das so ist, und bei welcher Entscheidung man bessere Chancen hat.

Wer nicht darüber nachdenken möchte, oder zu keinem Ergebnis gekommen ist, dem sei auch die Möglichkeit gegeben, sich die Auflösung des Ziegenproblems anzuschauen.

Das Schubfachprinzip

Veröffentlicht am 27. Mai 2008 in Beweismethoden and Mathematik. 7 Comments Tags: , , , .

Das Schubfachprinzip ist eine recht einfache mathematische Beweismethode, die auch auf eine Vielzahl von nicht-mathematischen Aussagen angewendet werden kann. Die Vorgehensweise des Prinzips ist denkbar einfach:

Das Schubfachprinzip

Werden n Objekte auf m Mengen verteilt, so enthält mindestens eine der Mengen mehr als ein Objekt, falls n > m gilt.

Eine anschauliche Erklärung lässt sich mit Hilfe des Namens geben:

Wenn n Objekte (z. B. Kugeln) auf m Schubfächer verteilt werden sollen, so enthält mindestens eines der Schubfächer mehr als eine Kugel, falls es mehr Objekte als Schubfächer gibt (n > m).

Der Beweis ist recht einfach beispielsweise per Reductio ad absurdum (Beweis durch Widerspruch) [Wikipedia] zu führen:

Beweis

Angenommen, das Schubfachprinzip wäre falsch. Bei der Verteilung von n Objekten auf m Mengen würde also in jeder Menge nur höchstens ein Objekt enthalten sein. Darauf folgt, dass es nur höchstens n Schubfächer geben kann. Dies ist ein Widerspruch zu der Aussage n > m, also muss das Schubfachprinzip richtig sein.

Die Anwendung ist wie gesagt vielzählig. So kann mittels Schubfachprinzip beispielsweise bewiesen werden, dass es in einem Dorf mit 200 Einwohnern mindestens 2 Einwohner gibt, die gleich alt sind. Die Anzahl der Schubfächer (= die Anzahl der verschiedenen Altersjahre) kann höchstens so groß sein wie das Alter des ältestesten Einwohners. Da es keinen Menschen gibt, der über 200 Jahre alt ist, muss es mehr Einwohner als Schubfächer geben und somit müssen zwei Einwohner gleich alt sein.

Genauso kann man zeigen, dass es unter 400 Menschen immer mindestens 2 gibt, die am selben Tag Geburtstag feiern. (m = 365, n = 400)

Der Leser ist herzlich dazu eingeladen, weitere Tatsachen zu suchen und finden, die sich mit Hilfe des Schubfachprinzips beweisen lassen und in einem Kommentar zu ergänzen.

Auch jegliche andere Art von Kommentaren ist wie immer gern gesehen.